«Кто владеет информацией,

тот владеет миром!»

                                                           Э. Талейран

Современное общество предъявляет к своим членам довольно высокие требования, относящиеся к умению анализировать случайные факторы, оценивать шансы, выдвигать гипотезы, прогнозировать развитие ситуации, принимать решение в ситуациях, имеющих вероятностный характер, в ситуациях неопределенности, проявлять комбинаторное мышление, необходимое в нашем перенасыщенном информацией мире. Наиболее эффективно эти умения и навыки позволяет формировать курс «Теория вероятностей и математическая статистика», о необходимости изучения которого в российской школе люди науки спорят на протяжении последнего столетия.

Включение теоретико-вероятностных знаний во всеобщее обучение является одним из основных аспектов модернизации российского школьного математического образования XXI века. Очевидно, что для качественного преподавания данного курса в основной и средней школе необходима соответствующая специальная подготовка педагогов, способных овладеть предметом, имеющим математическую природу и широчайшее прикладное значение.  Этим объясняется выбор математической науки теории вероятностей для разработки и создания данного продукта.

В курсе теории вероятностей при изучении случайных событий и случайных величин выстраивается некоторая математическая модель, определяется вероятность наступления или не наступления случайного события и на основании этого делаются выводы, проводятся сравнения. Но случайные события можно численно сравнивать и по степени  неопределенности связанных с этими событиями опытов. Интуитивно ясно, что степень неопределенности при подбрасывании монеты или игрального кубика различна. Мерой неопределенности опыта  является энтропия. Умение ориентироваться в этих показателях помогает человеку принимать оптимальные решения, адекватно воспринимать получаемую информацию.

«Кто  владеет  информацией,  тот  владеет  миром!» В этих  словах          Э. Талейрана определена главенствующая роль информации вообще. Особенно этот тезис актуален в наш XXI век, век информации и компьютерных технологий, век рациональных решений и действий. Но какой информацией надо владеть, каким ее количеством, чтобы действительно владеть миром, владеть рационально и оптимально? И если вопрос о качестве информации решается исходя из особенностей сферы ее применения, то вопрос о количестве информации – это основа самостоятельной, достаточно молодой, области математики – теории информации (1947-1948 гг., К.Шенон, американский математик, инженер), тесно связанной с кибернетикой и имеющей непосредственное применение в технике связи, биологии, лингвистике, психологии. Кроме того, оказывается, теория информации помогает ответить на вопрос  о наименьшем количестве некоторых действий по определению, например, фальшивой монеты, или угадыванию объекта.  Желание увидеть возможности продолжения понятия вероятности и их применения для измерения количества информации, решения школьных логических задач, расширить представление о дискретной математике,  о ее возможностях при вполне жизненных ситуациях определило выбор темы элективного курса: Энтропия и информация, цель которого заключается в теоретическом и практическом освоении нетрадиционного вопроса теории вероятностей и применении полученных знаний для разработки тематического модуля по решению логических задач методом энтропии и информации.

Понятия энтропии и информации не являются общепринятым материалом курса, но могут стать логическим и методическим его продолжением. Реальная ценность понятия энтропии определяется в первую очередь тем, что выражаемая им «степень неопределенности» опытов оказывается во многих случаях именно той характеристикой, которая играет роль в процессах, связанных с получением, передачей и хранением информации.

Понятие и свойства энтропии и количества информации связаны с понятием и свойствами логарифма, что свидетельствует о прикладном характере алгебры и начал анализа, и способствует дальнейшему формированию у учащихся систематических математических знаний, умений и навыков и осознанию значимости межпредметных связей.

В основной школе учащиеся знакомятся с понятием графа (дерева возможных вариантов), в рамках элективных курсов могут рассматривать (рассматривают) логические задачи на выделение элемента множества (задачи на взвешивание, угадывание задуманного, о лжецах) и их решение с помощью графов и логических рассуждений. Но при этом  остается открытым вопрос о минимально возможном числе взвешиваний или вопросов. Учащиеся не владеют математическими знаниями для решения подобных задач с целью получения однозначно неопровержимого ответа. Конечно, при построении графов развивается логическое мышление, внимание, формируется умение выдвигать гипотезы, но поиск возможных числовых ответов порой не может убедить, что это «наименьшее».

Для вычисления энтропии также возможно применение графов, что позволяет говорить о реализации принципа наглядности при конструировании математической модели, в частности при решении логических задач. Для определения количества информации эффективно применение ориентированного графа – авторского изобретения В.В. Афанасьева [7]. Успех применения графов можно объяснить тем, что они являются удобным языком для формулировки и эффективным инструментом для решения логических задач, и задач, относящихся к весьма широкому кругу научных проблем.

Методическая разработка представляет собой три взаимосвязанных модуля.

Первое пособие: энтропия информация раскрывает теоретические основы вопроса, объем учебной информации оптимален для успешного освоения практических навыков, рассматриваются основные теоретические положения темы, приводятся доказательства свойств энтропии и количества информации, рассматриваются типовые задачи, создается научно-обоснованная база для практического применения. При разработке первого модуля использовано значительное количество источников литературы. 

Второе пособие «Решение логических задач с помощью подсчета информации» содержит более 25 задач, тематически разделенных на три типа. Решение подобных задач относится к идеальному средству развития комбинаторного мышления, что очень важно при формировании аналитических навыков наших учеников. Практически каждая задача имеет математическое решение, решение с помощью графа или иллюстрацию – кодовое дерево. Большинство задач для самостоятельного решения или доработки взято из сборника нестандартных задач по математике  Е.В. Галкина [18], учебного пособия В.В.Афанасьева [7], книги по занимательной математике Бизама Д., Герцега Я. Многоцветная логика[13].

Третье пособие это авторская разработка факультативного курса «Решение логических задач методом энтропии и подсчета информации», апробация которого успешно осуществлена на практике в 11 классе с углубленным изучением математики гимназии № 8 г. Рыбинска. Апробация практической реализации данной разработки успешно прошла в 11 классах с углубленным изучением математики в гимназии №8, г.Рыбинска.

  Применение компьютерных технологий позволило учащимся создать свой проект по решению логических задач в рамках изученной темы.

При разработке продукта были применены следующие методы научного познания: работа с соответствующей литературой, консультации с научным руководителем, практическая проверка сформированности знаний при самостоятельном решении задач.

Пособия могут быть использованы учителями практиками, студентами, школьниками, всеми, кому интересна занимательная составляющая Царицы Наук и научно-теоретическое обоснование этой занимательности, кто желает научиться измерять информацию, и применять полученные результаты в нестандартных условиях.